用均值定理求最值的常用方法与技巧.

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式a2b

2（a、br），①ab2abab当且仅当a=b时，“=”号成立；22

2ab②ab2abab当且仅当a=b时，“=”号成立；（a、br），2

2a3b3c

3③abc3abcabc当且仅当a=b=c时，“=”号（a、b、cr），333

3成立；abc④abc3abcabc（a、b、cr），当且仅当a=b=c时，“=”号3

3成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一个重要的不等式链：

2abab2a2b2。2

b

二、函数f（x）ax（a、b0）图象及性质x

ba、b0图象：（1）函数f（x）axx

ba、b0性质：（2）函数f（x）axx

①值域：（，2ab][2ab，）；

②单调递增区间：（，

，

）；单调递减区间：（0，0）.，[

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ。求几个正数和的最小值。

1（x1）的最小值。22（x1）

11x1x11（x1）（x1）1（x1）1（x1）解析：yx2222（x1）2（x1）222（x

1）例

1、求函数yx

35x111（x1）即x2时，，当且仅当“=”号

122222（x1）-1-

成立，故此函数最小值是

5。

2评析。利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ。求几个正数积的最大值。例

2、求下列函数的最大值：



3）②ysin2xcosx（0x）

2

233

32x0，∴yx2（32x）（0x）xx（32x）解析：①0x，∴22

xx（32x）3[]1，当且仅当x32x即x1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

①yx（32x）（0x

②0x



，∴sinx0，cosx0，则y0，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

1sin2xsin2x2cos2x341222