第一讲 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，罗尔（rolle）中值定理

1费马（fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（rolle）中值定理：函数fx在闭区间a，b上连续，在开区间a，b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a，b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a，b内至少有一点使得f/0。

解析。⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a，b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a，b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a，b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxc（常数）

二，拉格朗日（lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a，b上连续且在开区间a，b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a，b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式。⑴f//ba成立。fbfaba

ab解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴

的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦ab。

⑵令aba，01则fbfaf/ababa，01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0，bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh，01。

⑶有限增量公式。如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西（cauchy）中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a，b上连续且在开区间a，b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a，b内每一点均不为零，则在a，b内至少存在一点使得

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