第一讲 微分中值定理

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法

例1设f（x）在[0，1]上二阶可导，f（0）f（1）f（0）0试证至少存在一点（a，b）使得f（）2f（）1分析：把要证的式子中的换成x，整理得f（x）xf（x）2f（x）0（1）由这个式可知要构造的函数中必含有f（x），从xf（x）找突破口因为[xf（x）]xf（x）f（x），那么把（1）式变一下：f（x）f（x）[xf（x）f（x）]0f（x）f（x）[xf（x）]0这时要构造的函数就看出来了f（x）（1x）f（x）f（x）②原函数法

例2设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（a）f（b）0，又g（x）在[a，b]上连续求证：（a，b）使得f（）g（）f（）分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法现在把与f有关的放一边，与g有关的放另一边，同样把换成x

f（x）两边积分x）g（x）dxlncf（x）ceg（x）dxf（x）g（x）lnf（f（x）eg（x）dxc现在设c0，于是要构造的函数就很明显了f（x）f（x）eg（x）dx③一阶线性齐次方程解法的变形法