切线长定理、弦切角、和圆有关的比

切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段

定理的掌握。

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线ab切⊙o于p，pc、pd为弦，图中几个弦切角呢。（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角。圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形相交弦定理

相交弦定理的推论

切割线定理

切割线定理推论

圆幂定理

已知结论⊙o中，ab、cd为

pa·pb＝pc·pd弦，交于p

⊙o中，ab为直pc2＝pa·pb

径，cd⊥ab于p

⊙o中，pt切⊙opt2＝pa·pb于t，割线pb交

⊙o于a

pb、pd为⊙o的两pa·pb＝pc·pd条割线，交⊙o于

a、c

⊙o中，割线pb交

p'c·p'd＝r2－

⊙o于a，cd为弦op'2

pa·pb＝op2－r2r为⊙o的半径

证法

连结ac、bd，证：△apc∽△dpb

用相交弦定理

连结ta、tb，证：△ptb∽△pat

过p作pt切⊙o于

t，用两次切割线定理

延长p'o交⊙o于

m，延长op'交⊙o于n，用相交弦定理证；

过p作切线用切割线

定理勾股定理证

8.圆幂定理。过一定点p向⊙o作任一直线，交⊙o于两点，则自定点p到两交点的两条线段之积为常数||（r为圆半径），因为的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】

例1.如图1，正方形abcd的边长为1，以bc为直径。在正方形内作半圆o，过a作半圆切线，切点为f，交cd于e，求de：ae的值。

叫做点对于⊙o

图1

解：由切线长定理知：af＝ab＝1，ef＝ce设ce为x，在rt△ade中，由勾股定理

∴，

，

例2.⊙o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，那么ce＝_________cm。

图2

解：由相交弦定理，得ae·be＝ce·de

∵ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，

，

∴，即

∴ce＝3cm或ce＝4cm。故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知pa是圆的切线，pcb是圆的割线，则解：∵∠p＝∠p∠pac＝∠b，∴△pac∽△pba，

∴，

∴。

又∵pa是圆的切线，pcb是圆的割线，由切割线定理，得

∴，即

，

故应填pc。

________。

点拨。利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4.如图3，p是⊙o外一点，pc切⊙o于点c，pab是⊙o的割线，交⊙o于a、b两点，如果pa：pb＝1：4，pc＝12cm，⊙o的半径为10cm，则圆心o到ab的距离是___________cm。

图3

解：∵pc是⊙o的切线，pab是⊙o的割线，且pa：pb＝1：4∴pb＝4pa又∵pc＝12cm由切割线定理，得∴∴∴，

∴pb＝4×6＝24（cm）∴ab＝24－6＝18（cm）设圆心o到ab距离为dcm，由勾股定理，得

故应填。