切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1
以及与圆有关的比例线段
[学习目标]1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角。顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线ab切⊙o于p,pc、pd为弦,图中几个弦切角呢。(四个)4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角。圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理已知
结论证法
⊙o中,ab、cd为弦,交pa·pb=pc·pd.连结ac、bd,证:于p.
△apc∽△dpb.
相交弦定理的推论⊙o中,ab为直径,cd⊥abpc=pa·pb.于p.
2用相交弦定理.
1
切割线定理⊙o中,pt切⊙o于t,pt2=pa·pb割线pb交⊙o于a
连结ta、tb,证:△ptb∽△pat
切割线定理推论pb、pd为⊙o的两条割线,pa·pb=pc·pd交⊙o于a、c
过p作pt切⊙o于t,用两次切割线定理
圆幂定理⊙o中,割线pb交⊙o于p'c·p'd=r2-延长p'o交⊙o于m,延a,cd为弦op'2长op'交⊙o于n,用相交
pa·pb=op2-r2弦定理证;过p作切线用
r为⊙o的半径
切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理。过一定点p向⊙o作任一直线,交⊙o于两点,则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|(r为圆半径),因为叫做点对于⊙o的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
|【典型例题】
例1.如图1,正方形abcd的边长为1,以bc为直径。在正方形内作半圆o,过a作半圆切线,切点为f,交cd于e,求de:ae的值。
图1解:由切线长定理知:af=ab=1,ef=ce设ce为x,在rt△ade中,由勾股定理
∴,
,
例2.⊙o中的两条弦ab与cd相交于e,若ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,那么ce=_________cm。
2
图2解:由相交弦定理,得
ae·be=ce·de
∵ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,
,
∴,
即
∴ce=3cm或ce=4cm。
故应填3或4。
点拨。相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知pa是圆的切线,pcb是圆的割线,则解:∵∠p=∠p
∠pac=∠b,
∴△pac∽△pba,
∴,
________。
∴。
又∵pa是圆的切线,pcb是圆的割线,由切割线定理,得
∴
,
即,
故应填pc。
点拨。利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。
例4.如图3,p是⊙o外一点,pc切⊙o于点c,pab是⊙o的割线,交⊙o于a、b两点,如果pa:pb=1:4,pc=12cm,
3
⊙o的半径为10cm,则圆心o到ab的距离是___________cm。
图3解:∵pc是⊙o的切线,pab是⊙o的割线,且pa:pb=1:4∴pb=4pa又∵pc=12cm由切割线定理,得∴∴,
∴
∴pb=4×6=24(cm)
∴ab=24-6=18(cm)
设圆心o到ab距离为dcm,
由勾股定理,得
故应填。
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