1-数理统计基础[最终定稿]

第一篇：1-数理统计基础《实验室资质认定评审准则》内审员培训班

彭洪

2012.9

1、数理统计基础

1.1随机变量1.1.1随机事件和概率

观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（a）。

随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。

概率的统计定义是：在相同条件下进行n次重复试验，事件a发生了m次，称m为事件的频数，称m/n为事件的频率。当n足够大时，频率m/n稳定地趋向于某一个常数p，此常数p称为事件a的概率，记为p（a）＝p，即：

mp（a）＝lim＝p（1.1）nn即概率是频率的极限值。

由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质：（1）必然事件的概率等于1，即p（）=1；（2）不可能事件的概率等于0，即p（）=0；

（3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤p（a）≤1。

小概率原理。当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。

概率的三个定理：

（1）互补定理。某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。当发生的概1《实验室资质认定评审准则》内审员培训班

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2012.9率为p，则不发生的概率为1-p。全部基本事件之和为必然事件。

（2）加法定理。相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别出现之和。例如，a1，a2，„an为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件出现的概率为各个事件概率的总和，即

p（a）=p（a1）+p（a2）+„+p（an）=p（ai）（1.2）

i1n（3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即

p（a1a2„an）=p（a1）p（a2）„p（an）=p（ai）（1.3）

i1n1.1.2随机变量与分布函数

每次试验的结果可以用一个变量x的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。

随机变量根据其取值的特征可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量试验结果的可能值可以一一列举出来，即随机变量x可取的值是间断的、可数的。

连续型随机变量试验结果的可能值不能一一列举出来，即随机变量x可取的值是连续充满在一个区间的。

随机变量的特点是以一定的概率在一定的区间范围内取值，但并不是所有的观测值都能以一定的概率取某一固定值。因此人们关心的是随机变量在某一个区间取值的概率是多少。即p（a≤x≤b）＝。

根据概率的加法定理，某随机变量x在区间[a，b]的取值概率为：p（a≤x≤b）＝p（x＜b）－p（x＜a）

显然只要求出p（x＜b）和p（x＜a）即可，这比求出p（a≤x≤b）简单得多。

对于任何实数x，事件（x＜x）的概率当然是x的函数，令f（x）=p（x＜x）表示（x＜x）的概率，并定义f（x）为随机变量x的概率分布函数，

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2012.9用来描述随机变量的统计规律。分布函数f（x）完全决定了事件（a≤x≤b）的概率。

连续型随机变量x的分布函数的表达式为：

f（x）＝p（x＜x）＝f（x）dx（1.4）

x式中，f（x）称为随机变量x的概率密度函数（或简称概率密度）。