循环码(7,4)

第3章循环码编码和译码

3.1循环码概念

循环码是线性分组码中一个重要的分支。它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。

循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在fec系统中得到了广泛应用。

3.1.1、循环码定义

定义。一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。设码字

a。（an。1an。

2...（3-1）a1a0）若将码元左移一位，得

a（1）。（an。2an。

1...a1a0an。1）a（1）也是一个码字。

注意。循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。

3.1.2循环码的特点

表3-1列出了某（7，4）循环码的全部码组

码组编号a61234567800000000信息位a500001111a400110011a301010101a201110110监督位a100101100a001111001码组编号a691011121314151611111111信息位a500001111a400110011a301010101a210011001监督位a111000011（3-2）

a001101001

循环码有两个数学特征：

1.线性分组码的封闭型。即如果c1，c2，是与消息m1，m2对应的码字，则c1+c2必定是与m1+m2对应的码字。

2.循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。

即若（an-1an-2…a1a0）为一循环码组，则（an-2an-3…anan-1）、（an-3an-2…an-1an-2）、……还是许用码组。也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。

以3号码组（0010111）为例，左移循环一位变成6号码组（0101110），依次左移一位构成的状态图如图1.1-2所示。

1001011110010111100100010111010111010111000111001

图3-1（7，4）循环码中的循环圈

可见除全零码组外，不论循环右移或左移，移多少位，其结果均在该循环码组的集合中（全零码组自己构成独立的循环圈）。

3.2码多项式

为了用代数理论研究循环码，可将码组用多项式表示，循环码组中各码元分别为多项式的系数。长度为n的码组a。（an。1an。

2...a1a0）用码多项式表示则为

a（x）。an。1xn。1。an。2xn。2。...。a1x。a0式中，x的幂次是码元位置的标记。若把一个码组左移i位后的码组记为，

（3-3）

a（i）。（an。1。ian。2。i...an。i。1an。i）其码多项式为

（3-4）

a（i）（x）。an。1。ixn。1。an。i。2xn。2。...。an。1。ix。an。ia（i）（x）可以根据xia（x）按模xn+1运算得到，即

（3-5）

a（i）（x）。xia（x）mod（xn。（3-6）1）或

xia（x）。q（x）（xn。1）。a（i）（（3-7）x）

式中，q（x）为xia（x）除以xn+1的商式，而xia（x）等于a（i）（x）被xn+1除得之余式。以码组0100111为例，若将此码左移两位，则由式（3-7）可得x2（x5+x2+x+1）=q（x）（x7+1）+a（2）（x）易有其余式为a（2）（x）=x4+x3+x2+x，对应的码组为0011101，它与直接对码组进行循环左移的结果相同。

3.3生成多项式