在任意与存在中构建关系和演绎推理|合情推理和演绎推理的关系

安徽阜阳第三中学236006摘要：任意性及存在性是高中数学里难于理解清楚的一种问题，本文中就一个例题进行引申，获得若干存在性或任意性的问题，本文尝试让任意与存在体现地淋漓尽致.

关键字：任意；存在

由于不等式、方程、函数是交织在一起的有机整体，同时在任意与存在之间构建不等式问题又与高等数学联系紧密，所以不等式问题的解决往往体现着多种数学思想方法的应用，是考查学生综合应用能力、思维灵活性和创新性的有效载体，因此这类问题一直是高考命题的热点和重点，而在任意与存在之间构建相等与不等关系，更是学生感到无所适从的难点，本文从一道高考题出发，通过适当变式，探求关系式的建立.

例题：（2006湖北）设x＝3是函数f（x）＝（x2＋ax－2a－3）e3－x（x∈r）的一个极值点.

设a＞0，g（x）＝a2＋

ex.若存在ξ1，ξ2∈［0，4］，使得

g（ξ2）－f（ξ1）

＜1成立，求a的取值范围.

解析（1）略.根据f（x），g（x）的单调性，可求出f（x）的值域是［－（2a＋3）e3，a＋6］，g（x）的值域是a2＋

，a2＋

e4.显然，g（x）min＝a2＋＞a＋6＝f（x）max，所以

g（ξ2）－f（ξ1）

＜1⇔g（ξ2）－f（ξ1）＜1.依题设知，只要在［0，4］上找到ξ1，ξ2（哪怕分别只找到一个），使g（ξ2）＜f（ξ1）＋1成立即可.从图象上看，即y＝g（x）图象的最低点比y＝f（x）＋1图象的最高点低，因此，问题转化为解不等式g（x）min＜f（x）max＋1.

因为g（x）关于x单调递增，

所以g（x）min＝g（0）＝a2＋.

由f′（x）＝－（x－3）（x＋a＋1）e3－x，可知当a＞0时，f（x）在［0，3］上单调递增，在［3，4］上单调递减，

所以f（x）max＝f（3）＝a＋6.

依题意知g（x）min＜f（x）max＋1，

即a2＋＜a＋6＋1.

所以0＜a＜.

为了形成知识网络，下面我们对该题进行多角度、多方面的变化探究，以期在“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养创新能力.

首先，我们对本题进行“异构变式”.

变式1是否存在实数a＞0，对任意的实数ξ1，ξ2∈［0，4］，使得g（ξ2）＜f（ξ1）＋1恒成立.