[二重积分中值定理的推广]二重积分的中值定理推广

第２７卷第２期２０１１年４月

忻州师范学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬ

０Ｆ

ＸＩＮＺＨＯＵ

ＴＥＡＣＨＥＲＳ

ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ

Ｖ０１.２７Ｎｏ.２

Ａｐｒ.２０１１

二重积分中值定理的推广

殷风.王鹏飞

（忻州师范学院，山西忻州０３４０００）

摘要：文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发，找出二重积分中值定理成立的必要条件，将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性，讨论了二重积分中值定理，：手・ｌ用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上，增加了函数对两个变量的单调性（单调递增，单调递减），给出了二重积分中值定理的其它的推广形式，最后给出二重积分中值定理特殊情形，即定积分中值定理的推广

形式。

关键词：介值性；单调性；二重积分；中值定理的推广中图分类号：０１７２.２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７１—１４９１（２０１１）０２—００１５一０２

ｌ问题的提出

二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用，文献［１—２］给出了二重积分中值定理基本形式.文献［３—４］给出了二重积分中值定理的推广形式，二重积分中值定理描述如下。

定理ｌ若函数八算，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续，函数ｇ（ｚ，Ｙ）在Ｄ上可积且不变号，则存在一点（ｆ，，７）ＥＤ，使得：

连续减弱为函数八五，，，）在有界闭区域Ｄ上可积且有介值性的条件下给出二重积分中值定理。

２

引理和二Ｉ积分中值定理的推广定义ｌ

函数八茗。Ｙ）在有界闭区域Ｄ上介值性是指。若

八髫Ｉ，），Ｉ）≠以善２，Ｙ２），（算ｌ，Ｙ１），（聋２，Ｙ２）ＥＤ，则对于介于八髫.，Ｙ。）以茗：，托）之间的数ｋ，比存在介于（石。，ｙ。），（茗：，扎）之间的点（ｆ，叼）使得八ｆ，１＇／）＝ｋ。

引理１

设函数以聋，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且

Ｄ，使得

肌ｚ，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘｄｙ＝“ｆ，刀）』ｇ（名，），）ｄｘｄｙ。

.ｔＤ／

葛

注释。定理中的以茗，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续减弱为以茗，，，）在有界闭区域Ｄ上可积时，定理不一定成立，但对一些可积的不连续函数，却有上面的结论。

例：设尺：［０≤鼻≤ｌ，０≤Ｙ≤１］，Ｖ（石，Ｙ）∈Ｒ，定义函

Ｊ肌茹，Ｙ）ｄｘｄｙ＞０，则至少存在Ｄ的一个子区域盯Ｅ

葛

以算，，，）＞０，（石，ｙ）Ｅ盯。

引理２引理３

设函数以石，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，则八石，

），）在有界闭区域Ｄ上的连续点稠密。

设函数以并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积。且八ｚ，

数ｇ（茗，ｙ）＝口，口为常数八石，ｙ）＝ｆ。’ｚ尹ｙ，则以算，，，）在尺

ｔＯ.石２Ｙ

ｙ）＞０，则肌茗，，，）ｄｘｄｙ＞０。

葛

上可积但不连续，易知ＪＩｆ（ｘ，），）ａｄｘｄｙ＝０，所以取（ｆ＝’７）Ｅ

篇

尺Ｊ肌戈，Ｙ）ａｄｘｄｙ＝０＝八ｆ，叼）ＪＪａｄｘｄｙ。

篇

篇

Ｅ

定理２若函数八并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且有介

值性，函数ｇ（ｘ，Ｙ）在Ｄ上可积且不变号，则存在一点（ｆ，ｒ／）

由上述可知在二重积分中值定理中函数八髫，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续是充分条件.而非必要条件，也就是说可以把条件减弱。又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续函数以戈.Ｙ）的可积性和介值性.而函数的可积性和介值性

＝

Ｄ，使得。ｆ以茗，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘｄｙ＝八ｆ，叼）恬（髫。，，）ｄｘｄｙ。

为

苗

证明以苴.Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，所以，

，

Ｍｉｎｆ以髫，，，）＝ｔｎ都存在。＿

并不一定要连续.本文在将函蚶（ｚ，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上

收稿日期：２０１０一１２—２０

基金项目：忻州师范学院院基金资助项目（２００８０５）

当＾ｆ＝ｍ时以ｚ，Ｙ）为常数，任意一点（孝，田）ＥＤ都满