圆与椭圆交点问题

甘肃永登第二中学730302摘要：数学以问题为中心，通过问题的解决可以培养学生的数学思维能力.在数学教学中，我们应该以数学思想为指导，重视学生数学思维品质的训练，且不可单纯追求数学思维品质某一方面的培养，而淡化另一方面.教师应恰当地创设问题情境，引发学生的认知冲突，暴露思维过程，让学生参与学习过程，体验知识发生、发展过程并获得成就感，全面训练学生数学思维品质，提高学生的探究能力和创新能力.本文就以圆与椭圆的交点问题为例，通过两种不同的解题方法说明学生数学思维培养的点滴感受.

关键词：数学思维；培养；能力；品质；探究；创新；创设；暴露；引发

通常，我们把两曲线的交点问题转化为求方程组的公共解问题.这种方法符合我们解题的思维习惯，但是也容易形成思维定式，产生一些难以觉察的错误.假如我们善于利用这些“错误”创设教学情景，引发学生的认知冲突，暴露思维的过程，同时进行启发、点拨、引导和拓展，就会有利于学生严密逻辑思维的形成，也有利于学生思维深刻性、广阔性以及学生探究能力的培养.因此，我们不可低估数学化归思想对促成数学思维的作用.当然，在具体的解题情景下，两曲线的交点问题亦可以用数形结合方法来解.以数形结合思想为指导，动态地观察两曲线的位置关系，破解问题，获得答案.这就要求我们合理调整思维视角，尝试用不同的方法解决问题，培养思维发散性、灵活性和敏捷性，进而培养创新能力.现就上述两种不同的解题情况分析如下：

[⇩]呈现问题，创设情境

例若圆（x－a）2+y2=9与椭圆+=1有公共点，则实数a的取值范围是

[⇩]暴露思维，引发冲突

错解由题意知（x－a）2+y2=9，

+

=1，

消y得5x2－18ax+9a2－45=0，即f（x）=0.因为Δ=36（4a2+25）>0，所以a∈（－∞，+∞）.故选a.

冲突当a=±7时，圆（x∓7）2+y2=9与椭圆+=1无公共点.（如图1）

[y][x][7][3][-3][-7][o]

图1

[⇩]分析讨论，解剖错因

讨论方程5x2－18ax+9a2－45=0在x∈r时有解，能否在x∈［－3，3］时有解。

错因忽视了隐含条件x∈［-3，3］，y∈［-2，2］.

剖析方程组有解，说明公共解一定满足两个方程，即必须x∈［-3，3］，y∈［-2，2］.

因此，原命题⇔f（x）=0在［-3，3］内有根.

[⇩]整理归纳，探究正解

正解一：

1.方程f（x）=0在［-3，3］上有两根⇔

f（3）>0，

f（－3）>0，

x=∈（－3，3）⇒a∈.（如图2）

疑惑为何对称轴直线。x=∈（－3，3），并非x=∈［－3，3］。

释疑因为Δ=4a2+25>0，所以抛物线f（x）与x轴交于两点.当x==－3或3时，方程f（x）=0在［－3，3］上只有一根.

2.方程f（x）=0在［－3，3］上只有一根⇔

f（－3）・f（3）≤0⇒a∈［－6，6］.（如图3）