漫谈数学的基本思想

一、应当把握数学思想从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两个理由。首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学文化的课程，这是非常重要的，而数学思想是数学文化的核心。梁漱溟在《东西文化及其哲学》的书中区别了文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是那个时代人们创造的东西。据此或许可以说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。那么，数学文化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文化。其次，是为了培养创新性人才。在修改《义务教育阶段数学课程标准》的过程中，把传统的双基扩充为四基，即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。基本活动经验的重要性是不言而喻的，因为数学的结果是看出来的，而不是证出来的，这就依赖于直观判断。正如希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。几乎所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维经验的积累。那么，数学思想是什么呢。

二、数学思想是什么人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法而不是数学思想。基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。