弹性地基梁理论

第3章弹性地基梁理论

崔振东副教授iaeg，ficdm，ficcecuizhendong@cumt.edu.cn中国矿业大学岩土工程研究所

本章内容

1概述2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程3按温克尔假定计算短梁4按温克尔假定计算长梁5

按地基为弹性半无限平面体假定计算基础梁

3.1概述

弹性地基梁

放置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁可以平放的，也可以是竖放的地基介质可以是岩石等固体材料，也可以是水、油之类的液体材料弹性地基梁是超静定梁，针对弹性地基梁的计算理论称为弹性地基梁理论

3.1概述

弹性地基梁与普通梁的区别

超静定的次数是有限，还是无限普通梁的支座通常看作刚性支座，即略去地基的变形，只考虑梁的变形；弹性地基梁必须同时考虑地基的变形

3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程

局部弹性地基模型

1867年前后，温克尔（e.winkler）对地基提出如下假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。

py=k

式中，y为地基的沉陷（m）；k为地基系数（kpa/m），其物理意义为：使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度（kpa）

3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程

局部弹性地基模型

这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时，由于弹簧是彼此独立的，故只在该点局部产生沉陷y，而在其他地方不产生任何沉陷。因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型。

弹性底座

3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程

3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程

右图表示一等截面的弹性地基梁，梁宽b=1根据温克尔假定，地基反力：

σ=ky

3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程

根据力的平衡条件根据力矩平衡条件

∑fy=0∑m=0

dq=σ。q（x）dxdmq=dx

dqd2m==σ。q（x）2dxdx

3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程

若不计剪力对梁挠度的影响，由材料力学知识得

。。dθd2y。。m=。ei=。ei2。dxdx。3dmdyq==。ei3。。dxdx。

θ=

dydx

dqd2m==σ。q（x）2dxdx

d4yei4=。ky+q（x）dx

k令α=4ei

4

梁的弹性标值

4α4d4y+4α4y=q（x）4dxk

3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程

4α4d4y+4α4y=q（x）4dxk为了便于计算，用αx代替变量x

dydyd（αx）dy==αdxd（αx）dxd（αx）

d4y4+4y=q（αx）4d（αx）k

3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程

3.2.2挠度曲线微分方程的齐次解

4d4y+4y=q（αx）4d（αx）k

d4y+4y=04d（αx）

eαx。e。αxeαx+e。αxshαx=，chαx=22

y=c1chαxcosαx+c2chαxsinαx+

c3shαxcosαx+c4shαxsinαx

下面将弹性地基梁分为短梁和长梁分别考虑，以定出齐次解中的四个常数与附加项（荷载影响）。再将一般解与附加项叠加，就得到微分方程的最终解答。

3.3按温克尔假定计算短梁

3.3.1初参数和双曲三角函数的引用

y=c1chαxcosαx+c2chαxsinαx+c3shαxcosαx+c4shαxsinαx

3.3.1初参数和双曲三角函数的引用

y=c1chαxcosαx+c2chαxsinαx+c3shαxcosαx+c4shαxsinαx

3.3.1初参数和双曲三角函数的引用

3.3按温克尔假定计算短梁

3.3.2荷载引起的附加项

3.3.2荷载引起的附加项

（1）集中荷载p引起的附加项

3.3.2荷载引起的附加项