解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法

解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法

此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：①轨迹圆的缩放：

当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径r）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.

例1一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），从o点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是y=0，y=a，x=-1.5a，如图所示，那么当b满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当b满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当b满足条件_________时，粒子将从下边界射出：

例2如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为b的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与cd成θ角的速度v0垂直射入磁场中。要使粒子必能从ef射出，则初速度v0应满足什么条件。ef上有粒子射出的区域。

【审题】

如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。

【解析】

粒子从a点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从ef射出，则

图9-8图9-9图9-10相应的临界轨迹必为过点a并与ef相切的轨迹如图9-10所示，作出a、p点速度的垂线相

交于o/即为该临界轨迹的圆心。

0临界半径r0由0有：

故粒子必能穿出ef的实际运动轨迹半径r≥r0

r。rcosθ。dr0。d1。cos。；

r。即。

mv0dqbd。v0。qb1。cos。有。m（1。cos。）。

1

由图知粒子不可能从p点下方向射出ef，即只能从p点上方某一区域射出；

又由于粒子从点a进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从ag直线上方射出；由此可见ef中有粒子射出的区域为pg，

且由图知：

pg。r0sin。。dcot。。dsin。。dcot。1。cos。。

例3如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为

bb的匀强磁场，在ad边中点o，方向a垂直磁场向里射入一速度方向跟ad××××边夹角θ=30°、大小为v0的带正电

××××粒子，已知粒子质量为m，电量为q，oθad边长为l，ab边足够长，粒子重力

v0××××不计，

c求：（1）粒子能从ab边上射出磁场d的v0大小范围.

（2）如果带电粒子不受上述v0大小

范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.

mv0v0mr，所以有r=qb，解析：（1）若粒子速度为v0，则qv0b=

2设圆心在o1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则r1＋r1sinθ=

l，2将r1=

mv01qbl代入上式可得，v01=

3mqbl，2类似地，设圆心在o2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则r2－r2sinθ=

将r2=

mv02qbl代入上式可得，v02=

mqbqblqbl＜v0≤3mm所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足

（2）由t=

。2。m可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在t及t=

2。qb磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r≤r1时，运动时间最长，弧所

对圆心角为（2π－2θ），

所以最长时间为t=

（2。。2。）m5。m=

qbqb2