金融数学之心得

价格向上变动的次数i为服从二项分布的随机变量；价格向下变动的次数ni也服从同样的分布。因此我们说，价格过程服从二叉树。对于n期二叉树所有状况的集合，在每一个时段上涨或者下跌共有2个元素。例如，两时段股票价格二叉树如图33所示；三时段二叉树如图34所示。

n

为简单起见，假设在这两个图中，s（0）1。

练习3.13如果s（1）的可能值为87美元和76美元，s（2）的最大可能值为92美元，计算u和d。

练习3.14假设在连续复合之下，无风险收益率为14%，时段为1个月，s（0）22美元，d0.01，计算与条件3.2一致的s（2）的中间值的范围。

练习3.15假设28美元、32美元和x美元是s（2）可能值，计算x。假设股票价格服从二叉树，你能画出这棵树吗。画法是否唯一。

练习3.16假设股票价格服从二叉树模型，s（2）的可能值是121美元、110美元和100美元。当s（0）100美元时，计算u和d；当s（0）104美元时，计算u和d。

3.2.1风险中性概率

在二叉树模型中，即使不知道股票未来的确切价值，也可以计算出股票的期望价格。然后可将这些期望价格与无风险投资进行比较。我们可以将这个简单的思想应用于衍生证券（例如期权、远期、期货）中，这些应用是广泛且令人惊奇的，我们将在以后各章研究这个问题。

首先，我们研究股票价格期望e（s（n））的动态变化。当n1时，有

e（s（1））ps（0）（1u）（1p）s（0）（1d）

s（0）（1e（k（1）））式中，

e（k（1））pu（1p）d

是单收益的期望，下面我们将其扩展到任意的n的情形。命题3.4当n0，1，2，时，股票价格的期望为

ne（s（n））s（0）（1e（k（1）））

证明

因为单期收益k（1），k（2），是不相关的，于是随机变量1k（1），1k（2），也是不相关的，由此得出

e（s（n））e（s（0）（1（k（1））（1k（2））（1k（n）））

s（0）e（1k（1））e（1k（2））e（1k（n））

s（0）（1e（k（1）））（1e（k（2）））（1e（k（n）））

因为k（n）是同分布的，其期望相同，即

e（k（1））e（k（2））e（k（n））

于是我们就证明了e（s（n））的公式。